Como referenciar este texto: Matemática – Permutação com repetição (Plano de aula – Ensino médio). Rodrigo Terra. Publicado em: 06/01/2026. Link da postagem: https://www.makerzine.com.br/educacao/matematica-permutacao-com-repeticao-plano-de-aula-ensino-medio/.
A diferença entre permutação com repetição e sem repetição é fundamental para contar apenas arranjos distintos.
O foco da aula é demonstrar, com exemplos de anagramas, como duplicatas devem ser eliminadas da contagem.
Ao final, apresentaremos estratégias de resolução e exemplos de aplicação interdisciplinar com Língua Portuguesa.
Objetivos de Aprendizagem
Definir permutação com repetição e a fórmula associada.
Aplicar a contagem a arranjos de multiconjuntos para evitar duplicatas.
Apresentar a fórmula: n! / (n1! n2! … nk!), e discutir como identificar n e as multiplicidades n1, n2, …, nk nas situações do cotidiano e em problemas de vestibular.
Ilustrar com exemplos simples de palavras ou arranjos de letras, mostrando como permutações com repetição reduzem o número de soluções distintas.
Sugerir atividades estruturadas: leitura guiada de enunciados, exercícios em grupo e problemas de aplicação interdisciplinar com Língua Portuguesa para consolidar a contagem correta.
Materiais utilizados
Este conjunto de materiais facilita a compreensão da permutação com repetição na prática, permitindo que os alunos manipulem elementos concretos, visualizem possibilidades e consolidem o raciocínio por meio da experimentação.
Quadro branco e marcadores ajudam a registrar contagens, comparar arranjos e esclarecer etapas do raciocínio, além de permitir que o professor conduza intervenções em tempo real conforme surgem dúvidas.
Conjunto de cartas com letras repetidas representa as unidades que serão permutadas. Ao manipular as cartas, os estudantes observam como algumas permutações se repetem quando letras idênticas aparecem mais de uma vez, o que facilita a introdução do conceito de permutação com repetição.
Folhas de atividades com problemas de anagramas proporcionam prática orientada, e uma calculadora ou planilha simples pode ser usada para registrar contagens, comparar resultados entre grupos e acompanhar a eliminação de duplicatas na contagem.
Metodologia utilizada e justificativa
Metodologias ativas: ABP, aprendizagem baseada em problemas e discussões em pequenos grupos para promover o protagonismo do aluno e a construção coletiva do conhecimento.
Justificativa: a construção de conhecimento ocorre quando os alunos comparam cenários, formulam hipóteses e validam ideias com exemplos práticos, o que favorece a retenção e a transferência de aprendizados para situações reais.
A prática pedagógica envolve a organização de atividades com etapas claras: levantamento de hipóteses, experimentação, discussão em grupo e reflexão orientada pelo professor.
Integração interdisciplinar com Língua Portuguesa (anagramas) e Informática (conhecimentos básicos de algoritmos) enriquece a aprendizagem, conectando matemática a linguagem e à lógica computacional aplicada a problemas.
Preparação prévia do professor
Montar material de apoio com conjuntos de letras repetidas, cartões com símbolos e fichas no formato manipulável; planejar a sequência de atividades em níveis de dificuldade (reconhecimento, contagem de permutações e eliminação de duplicatas) e definir critérios de avaliação formativa (compreensão, precisão e justificativa).
Equação-chave: P = n! / (n1! n2! … nk!).
Organizar recursos para diferentes estilos de aprendizado: atividades escritas, atividades orais, uso de tecnologia simples (planilhas para contagem de permutações) e materiais de apoio para alunos com necessidade de intervenção pedagógica. Apresentar cenários concretos do cotidiano para ilustrar como duplicatas devem ser eliminadas da contagem.
Planejar estratégias de gestão de sala: tempos estimados, critérios de participação, check-ins curtos para aferir a compreensão ao longo da aula e espaços para feedback imediato; prever perguntas frequentes e respostas esperadas que o professor pode usar para guiar a resolução de problemas.
Definir critérios de avaliação e rubrica para a passagem entre teoria e prática, como o aluno aplica a fórmula em problemas com repetição, e como conectá-lo com outras disciplinas, por exemplo Língua Portuguesa na interpretação de enunciados e na construção de problemas preparados para o vestibular.
Introdução da aula
Iniciar com exemplos simples de permutação sem repetição para fixar a ideia de contagem. Use letras distintas, como A, B e C, para formar todas as permutações possíveis e observar que existem 3! = 6 arranjos diferentes.
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Apresentar o problema com letras repetidas (A, A, B) e mostrar que há 3 arranjos distintos: AAB, ABA, BAA. Esse resultado ocorre porque as As são indistinguíveis entre si, o que faz com que várias ordens gerem o mesmo arranjo.
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Chame a atenção para a fórmula de permutações com repetição: se temos n itens, nas situações com contagens n1, n2, …, nk, o número de arranjos distintos é n! / (n1! n2! … nk!). No exemplo A,A,B temos n=3, n1=2, n2=1, então 3!/(2!1!) = 3.
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Para tornar a ideia prática, proponha dois caminhos: (1) listar apenas os arranjos sem duplicatas ou (2) usar a fórmula para calcular rapidamente o total. Mostre como escolher posições para o item repetido (por exemplo, escolher 2 posições para o A entre 3 posições) e permutar os itens restantes.
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Aplicação em sala: atividades ativas com cartas ou letras impressas, exercícios de anagramas, e ligações com Língua Portuguesa e vestibulares; peça aos alunos criarem e resolverem seus próprios conjuntos com repetição, discutindo estratégias de resolução e interpretação de palavras com duplicatas.
Atividade principal: Permutação com repetição
Ativar o raciocínio através de atividades em grupos: distribuir cartas com elementos repetidos e pedir aos alunos que contem os arranjos distintos.
Utilizar a fórmula P = n! / (n1! n2! … nk!) para checar as contagens e discutir as situações em que multiplicidades se alteram.
Estender a atividade com situações reais, como códigos de cores, senhas com letras repetidas ou palavras com letras repetidas, para que os alunos reconheçam quando o total de permutações depende de repetições.
Incorporar diferentes estratégias de resolução: usar tabelas, árvores de possibilidades e software educacional para visualizar os arranjos distintos, reforçando conceitos de combinatória.
Encerrar com uma discussão sobre aplicações em vestibulares e no dia a dia, e sugerir exercícios de fixação com itens de leitura e interpretação de textos que envolvam rearranjos de letras.
Fechamento e avaliação
Recapitule a fórmula da permutação com repetição e as situações em que ela se aplica: quando objetos iguais aparecem mais de uma vez em uma sequência, as contagens devem ser ajustadas para não contar arranjos idênticos. A fórmula-chave é N!/(n1! n2! … nk!), em que N é o total de itens e n1, n2, …, nk são as multiplicidades dos itens repetidos. Por exemplo, para a palavra BANANA temos 6 letras com 3 A’s, 2 N’s e 1 B, resultando 6!/(3! 2! 1!) = 60 arranjos distintos.
Colete exemplos de respostas e forneça feedback imediato durante a prática; proponha uma questão de vestibular simples como tarefa de casa para consolidar a compreensão da contagem de permutações com repetição.
Estratégias de avaliação: utilize uma rubrica simples que valorize (i) a correta aplicação da fórmula, (ii) a identificação das multiplicidades, (iii) a justificativa da eliminação de arranjos repetidos e (iv) a clareza da resolução e da escrita matemática.
Encerramento ativo da aula: peça aos alunos que discutam em pares como a permutação com repetição se compara à permutação sem repetição, explore cenários cotidianos (como anagramas) e conecte com a Língua Portuguesa ao analisar palavras que mudam apenas uma letra.
Conteúdo para continuidade: para turmas de diferente nível, proponha variações com mais símbolos repetidos ou com listas de objetos, oferecendo desafios adicionais para avançados. Sugira atividades com recursos digitais e referências para prática autônoma, mantendo o foco na validação de resultados por meio de explicações claras.
